Por David Sumpter
«¡Zlatan Ibrahimović! ¡Me gustaría bajar ahí y darte un abrazo!»
Estas fueron las palabras del comentarista Stan Collymore tras presenciar cómo el gigante sueco rotaba su cuerpo verticalmente 180°, chutaba el balón haciendo una chilena y lo elevaba por encima de la cabeza de Joe Hart desde más de 25 metros. Unos segundos antes, Collymore había descrito tranquilamente el partido como un «ejercicio meritorio» entre Inglaterra y Suecia que buscaban la clasificación para la Copa del Mundo. De repente exclamó: «¡Oh, Dios mío, un gol loco! ¡Acabo de ver el gol más loco que he visto nunca en un campo de fútbol!». La voz de Collymore casi se llegó a romper cuando declaraba su deseo de abrazar a Zlatan.
Fue un gol espectacular.1 La chilena es una de las formas más espectaculares de marcar en el fútbol porque implica un muy alto grado de coordinación, anticipación, precisión y elección del instante oportuno. El jugador se tiene que girar cabeza abajo a gran velocidad, seguir el balón y golpearlo a la perfección. Para la chilena «estándar» que se ejecuta dentro del área, como el sorprendente gol de Wayne Rooney contra el Manchester City, el jugador tiene que golpear el balón con el empeine de la bota. Esto asegura que el balón volará hacia abajo en dirección a la portería. Zlatan estaba fuera del área de penalti, de manera que tuvo que utilizar la punta de la bota para arquear el balón por encima del portero Joe Hart y la defensa. Su «volea de chilena» fue un tipo de disparo completamente nuevo.
La explicación de Newton
La ejecución es muy difícil, pero la física de la volea de chilena de Zlatan es relativamente sencilla. La fuerza principal implicada es la gravedad, y la trayectoria del balón se puede deducir con la ayuda de las ecuaciones de movimiento de Newton. Suponiendo que no haya resistencia del aire, el balón seguirá una trayectoria similar a la que se muestra en la figura 5.1. Como todas estas trayectorias, dibuja una parábola si suponemos que la velocidad del balón hacia la portería es constante. La velocidad descendente del balón aumenta con el tiempo porque la gravedad provoca que el balón se acelere hacia el suelo.2 La gravedad proporciona una aceleración constante, de manera que la velocidad inicial del balón hacia arriba es positiva, pero disminuye en una cantidad igual en cada intervalo de tiempo. Es cero cuando el balón se encuentra a su altura máxima y entonces se vuelve negativa a medida que el balón cae. Como resultado, la trayectoria del balón es simétrica alrededor del punto máximo, y sigue el mismo camino hacia abajo que ha seguido hacia arriba.
Si seguimos la trayectoria de esta parábola, la cosa parece bastante sencilla. Solo se trata de lanzar el balón en el ángulo y a la velocidad correctos, la gravedad se hará cargo y el balón aterrizará en el fondo de la red. Pero el problema es que la relación entre el ángulo de lanzamiento y dónde acaba el balón no es tan directa. La figura 5.2 muestra el conjunto de seis disparos diferentes realizados con ángulos diversos, dos de los cuales acaban en el fondo de la red y cuatro salen fuera.
FIGURA 5.1. La trayectoria de la volea de chilena de Zlatan Ibrahimović según la física newtoniana.
Todos estos disparos tienen la misma velocidad inicial, 17 metros por segundo, pero los resultados son muy diferentes. Si el balón queda corto, marca un gol o vuela por encima de la portería depende de una relación compleja entre velocidad y ángulo. Podemos calcular esta relación resolviendo las ecuaciones de movimiento. Demostrar cómo se mueve el balón a lo largo del tiempo es una tarea que se puede plantear en las mates de secundaria. Para resolver si el balón entra en la portería, tenemos que reordenar los términos para descubrir una condición para que el balón pase por debajo del larguero, pero no toque el suelo antes de entrar en la portería. Esto no es difícil, pero requiere unos pocos pasos matemáticos.3
FIGURA 5.2. La trayectoria de la volea de chilena de Zlatan está determinada por el ángulo de lanzamiento.
La figura 5.3 muestra las combinaciones de ángulos y velocidades que dan como resultado que el balón acabe en la portería. Piense en cómo podría elegir Zlatan un punto en este conjunto. Por ejemplo, podría chutar el balón a 25 metros por segundo a 40°, en cuyo casi volará por encima del larguero. O lo puede chutar a 15 metros por segundo a 30°, pero entonces botará justo antes de la línea de gol. Si, como mostré en la figura 5.1, lo golpea a 16 metros por segundo a 40°, entonces entrará en la portería. Las combinaciones que acaban en gol ocupan solo una franja estrecha a través del espacio de todos los ángulos y velocidades posibles. Si se chuta demasiado fuerte, el balón volará por encima del larguero; si se coloca el pie en un ángulo demasiado abierto o demasiado cerrado, rebotará y lo despejará la defensa. El peso que se aplica al balón debe ser el correcto. La franja está formada de una manera que hace que realizar cualquier predicción sin aplicar las matemáticas sea muy difícil. Por ejemplo, un balón chutado en un ángulo de 19° a 20 metros por segundo entrará, pero solo un poco más fuerte y se irá por encima del larguero. No obstante, si se golpea el balón a la misma velocidad pero a 65°, se irá muy alto, caerá y acabará en la red. Se trata de un disparo muy difícil, porque con solo un ligero incremento del ángulo o una disminución de la velocidad, el balón botará antes de llegar a la línea de gol.
FIGURA 5.3. Cómo la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento determinan si el balón entra o no en la portería. El área gris indica la combinación de ángulo y velocidad con la que marcó Zlatan. Las combinaciones a la derecha de la zona gris envían el balón por encima del larguero, mientras que las combinaciones a la izquierda consiguen que el balón bote antes de llegar a la portería.
En consecuencia, ¿cómo lo consiguió Zlatan? Bueno, en el gol intervino un cierto grado de suerte. Hart se encontraba fuera del área pequeña y no alejó lo suficiente el balón, así que Zlatan se encontraba en el lugar exacto en el momento preciso. Pero cuando vio la oportunidad, chutó perfectamente el balón. Después de ver repetidamente las imágenes (con los comentarios originales), estimo que el balón salió del pie de Zlatan a unos 16 metros por segundo y en un ángulo de 40°, como se muestra en la figura 5.1. Al elegir una velocidad más lenta, Zlatan dejó un mayor margen de error para el ángulo. Cualquier ángulo entre los 30° y los 50° habría colocado el balón en la red. Si hubiera chutado el balón con más fuerza, por ejemplo a 20 metros por segundo, el margen de error habría sido mucho más pequeño. Incluso cabeza abajo, Zlatan minimizó la probabilidad de cometer un error.
Envíalo al espacio
La chilena tiene una aerodinámica relativamente sencilla. La fuerza principal es la gravedad y las ecuaciones son las mismas que aprendimos en las clases de física en la escuela. Zlatan aplica una fuerza inicial ascendente, y la gravedad proporciona la aceleración descendente. No obstante, no es tan sencillo como parece. En los cálculos anteriores simplifiqué las cosas al ignorar otras fuerzas que entran en juego. Cuando el balón vuela por el aire, el rozamiento resultante lo va frenando, y además Zlatan también le aplica un giro de manera que el balón va rotando cuando llega a la red. Hay que reflexionar sobre muchos elementos cuando se trata de elaborar un modelo del movimiento de un balón en vuelo.
Afortunadamente, un montón de especialistas en cohetes están trabajando en el caso. La NASA gestiona todo un programa de investigación dedicado a la aerodinámica del balón. Han creado un simulador de disparos en línea, donde puedes introducir la posición, la dirección, las fuerzas y la rotación de un balón y calcular si dará o no en la diana.4 Yo no dispongo de los recursos que tiene la NASA, pero añadí el frenado provocado por la resistencia del aire a mi propio simulador de la volea de chilena de Zlatan. Un gol simulado se muestra en la figura 5.4.
La resistencia del aire es significativa: provoca que el balón caiga con un ángulo más pronunciado que el ángulo de lanzamiento. La figura 5.4 muestra que balón fue lanzado a 27°, pero cuando llega a la red, el ángulo respecto al suelo se acerca a los 80°. El hecho de que la caída del balón sea más abrupta significa que la franja de velocidades y ángulos que acaban en gol se reduce. Una fuerza ligeramente superior lo impulsará por encima del larguero y una ligeramente inferior lo hará rebotar delante de la portería. Cuando Zlatan chutó el balón le otorgó una rotación con retroceso para compensar la resistencia del aire y para conseguir que su vuelo se pareciera más a la parábola gravitatoria. Cuando el balón salió rodando de su pie, debió saber de inmediato que había hecho algo especial. El balón adoptó exactamente la curva que quería y cayó a la perfección en la portería de Inglaterra.
La trayectoria de todo balón chutado durante un partido de fútbol está determinada por detalles como la rotación y la resistencia del aire.5 A velocidades altas, el material que forma el balón y sus características físicas también son importantes. Los fabricantes intentan eliminar las diferencias entre superficies, aunque en todos los balones la cubierta exterior consiste en paneles cosidos entre sí. Las variaciones en la configuración de estos paneles y el cosido entre ellos significa que balones diferentes generarán patrones de turbulencia ligeramente diferentes a su alrededor cuando están en vuelo. Balones diferentes chutados exactamente de la misma manera pueden tener trayectorias ligeramente diferentes.
En los prolegómenos de la Copa del Mundo de 2014 en Brasil, los ingenieros de la NASA decidieron probar varios balones de fútbol. En la Copa del Mundo de Sudáfrica hubo quejas de que el balón Jabulani utilizado en los partidos mostraba movimientos «sobrenaturales». Esas acusaciones son difíciles de verificar y se podían deber al resentimiento de los equipos eliminados de la competición, así que la NASA decidió colocar el Jabulani en un túnel de viento y someterlo a pruebas. El Jabulani era un balón mucho más liso que los utilizados con anterioridad, porque solo tenía ocho paneles frente a los 32 tradicionales. El cosido que conecta los paneles provoca irregularidades en la superficie, así que con menos paneles se consigue un balón más liso.
FIGURA 5.4. Aerodinámica de la volea de chilena de Zlatan Ibrahimović incluyendo el frenado a causa de la resistencia del aire.
Sin embargo, resultó que un balón más liso no tiene necesariamente un vuelo más limpio. Cuando se chuta con fuerza, el Jabulani tiene un movimiento errático en el aire. Todos los balones sufren este efecto cuando se los chuta a baja velocidad sin rotación, porque el vuelo del balón no es estable. Como para un portero es más fácil seguir los balones a velocidad baja, en esos casos el efecto no representa ningún problema. Sin embargo, el Jabulani también adquiere el mismo efecto cuando se chuta el balón con el típico disparo a muy alta velocidad que practican los mejores jugadores. Fue este efecto el que les provocó tantos problemas a los porteros.
La NASA pasó a continuación a probar el nuevo Brazuca, que se iba a usar en la Copa del Mundo de 2014 en Brasil. Aunque el Brazuca tiene aún menos paneles, solo seis, las costuras del balón son más largas y los paneles están cubiertos de pequeños hoyuelos. La rugosidad de la superficie significa que el Brazuca solo tiene esta trayectoria errática a baja velocidad y que presenta un patrón de vuelo más fiable que si se lo chuta con fuerza.
Unos investigadores en Japón fueron aún más allá que los científicos de la NASA.6 Construyeron un robot para chutar repetidamente el Brazuca, el Jabulani y otros balones exactamente de la misma manera. En cada prueba con el mismo tipo de balón, lo colocaban con diferentes orientaciones iniciales para que el pie del robot impactase contra partes diferentes del panelado. Cuando se chutaba a 30 metros por segundo, un disparo muy duro en el fútbol profesional, el vuelo del Jabulani dependía mucho de la parte del panelado que había golpeado el pie del robot. Los investigadores colocaron la diana a 25 metros de distancia, hicieron que el robot chutara directamente hacia delante sin rotación y comprobaron dónde había golpeado el balón. Dependiendo de la orientación, el punto de impacto en la diana podía variar hasta dos metros en el Jabulani, lo que es una variación bastante grande si intentas golpear un blanco de 2,44 metros de altura. El Brazuca era mucho más fiable y los cambios en la orientación inicial provocaban solo diferencias muy pequeñas en el punto de impacto. No obstante, era la misma fiabilidad que el balón de fútbol tradicional de 32 paneles, que los investigadores también probaron. En consecuencia, en lo que respecta a un robot futbolista, el viejo y buen balón estándar de la FIFA es tan fiable como el moderno Brazuca de seis paneles.
Suerte, estructura y magia
Tengo una razón para terminar la parte «En el campo» de este libro con un abrazo a Zlatan. Aunque su gol de chilena se puede analizar desde el punto de vista matemático, no he intentado reducir totalmente a ecuaciones la brillantez de Zlatan. Su disparo maravilloso y la reacción de Collymore nos recuerdan que es inútil intentar reducir a matemáticas y ciencia toda la belleza del juego.
En los cinco capítulos que acabamos de pasar en el campo, he analizado varios aspectos del fútbol utilizando una combinación de azar y estructura. El azar nos ha permitido en gran medida explicar los goles y medir la excelencia; la estructura nos permite controlar el espacio tanto en ataque como en defensa, y medir la dinámica de pases del centro del campo. Lejos del fútbol, enfoques similares sirven para los peces y los leones; predicciones meteorológicas y cambio climático; corredores de 100 metros lisos; enviar balones por el aire y cohetes al espacio; y también para coces de caballo, accidentes y cáncer. Estos son solo unos pocos de los miles y miles de ejemplos. A través de la biología, la sociología y la meteorología, las analogías matemáticas nos permiten ver con claridad cómo surgen el azar y las estructuras. Las matemáticas y la ciencia son poderosas, pero ¿pueden explicarlo todo?
Vi el gol de Zlatan por televisión en mi casa con mi familia. Mi esposa sueca pegó un salto gritando de alegría y dando una patada de kung fu. Mi hija miraba a su mamá con alegría, sonriendo y tapándose las orejas con las manos para amortiguar el ruido. Y mi hijo se derrumbó en una nueva ronda de lágrimas, maldiciendo a Zlatan y sollozando que la sustitución de su amado Steven Gerrard había provocado el gol. Esta escena —en mi sala de estar, en el campo, en el Friend’s Arena donde aplaudieron incluso los seguidores de Inglaterra, y repetida por toda Suecia— refleja una pasión por un juego que no es aleatorio ni estructurado. Es, sencillamente, mágico.
El gol de Zlatan debe quedar parcialmente sin explicación, como la chilena de Rooney contra el Man City, la carrera de Giggs contra el Arsenal y el gol de medio campo de Beckham en Wimbledon. Es posible que nunca podamos llegar a una conclusión sobre el (segundo) gol de Maradona contra Inglaterra en la Copa del Mundo de 1986 o el «gol de placa» de Pelé, cuando recorrió toda la largura del campo para marcar para el Santos en Maracaná. Las regularidades estadísticas en el marcaje de goles de Messi y Ronaldo no ocultan la sorprendente variedad de maneras que han descubierto para marcar un gol. La capitulación de 20 minutos de Brasil ante Alemania en la semifinal de la Copa del Mundo de 2014; los dos minutos en los que Edin Džeko y Sergio Agüero llevaron el título al lado azul de Manchester por primera vez en 44 años; el canto durante el descanso de You’ll Never Walk Alone, seguido de los tres goles del Liverpool en Estambul; todo esto se puede explicar en parte por lógica y razón, pero siempre conservará un elemento de leyenda.
Las mates y las ciencias nos dan una perspectiva. Podemos utilizar las herramientas científicas para revelar patrones y para domar la aleatoriedad. Cada vez que aplicamos un modelo matemático, obtenemos una idea más clara de cómo funciona el mundo. Pero los matemáticos y los científicos deben reconocer sus límites: siempre habrá algo en el fútbol, y en el resto de la vida, que no podamos explicar del todo. Esto no nos debería preocupar. Se trata de algo que celebrar. La acción en un campo de fútbol siempre seguirá siendo una combinación única de suerte, estructura y magia. Estos tres elementos juntos son los que hacen que el fútbol sea lo que es.
- Puede verse en www.youtube.com/watch?v=yzvQCbdAIZQ
- Aquí están las ecuaciones de movimiento. Zlatan tiene casi 2 metros de estatura y cuando se gira cabeza abajo realiza un giro de casi 180°, de manera que la altura inicial del balón cuando lo chuta es también de unos 2 metros. El balón sale disparado con una velocidad inicial v en un ángulo θ. La velocidad inicial de ascenso será entonces v sen θ, y la altura del balón a lo largo del tiempo t es
donde g = 9,8 m/s2 es la aceleración debida a la gravedad. Suponiendo que no hubiera resistencia del aire, la distancia desde la portería viene determinada por
donde 27 metros es la distancia inicial hasta la portería.
- El balón llega a la portería cuando x(t) = 0, que ocurre en el momento
La altura del balón en este punto es
La cuestión es: ¿para qué velocidad v estará la altura final entre 0 y 2,44 metros (la altura de la portería)? Reformulando esta ecuación descubrimos que
es la condición para que el balón entre. Esta es la base del gráfico en la figura 5.3. Aunque haya cosenos, senos y raíces cuadradas volando por todas partes, todo esto es geometría básica de secundaria. La dificultad para resolver este problema está en tener claro qué es lo que se quiere encontrar. Entonces solo se trata de mover los símbolos para resolver el problema.
4. www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/soccercode.html.
- Para una visión más detallada del movimiento en el fútbol y un análisis de los lanzamientos de falta directa de Gerrard, véase Goff, J. E., 2010, «Power and spin in the beautiful game», Physics Today 63(7): 62-63.
- Hong, S., y Asai, T., 2014, «Effect of panel shape of soccer ball on its flight characteristics», Scientific Reports 4: 5068. DOI: 10.1038/srep05068.
*Del libro «Fútbol y matemáticas», capítulo 5, de David Sumpter.
